Question

已知函數，.
(1)設函數，求函數的單調區間；
(2)是否存在實數，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅱ） () ．

試題分析：（I）因為，函數，.
所以=－lnx，其定義域為（0，+）。，
當a=0時，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上單調遞增，在（0，）單調遞減；
當a>0時，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上單調遞增，在（0，）單調遞減；
當a<0時，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上單調遞增，在（0，）單調遞減。
（Ⅱ）把方程整理為，
即為方程.       5分
設 ，原方程在區間()內有且只有兩個不相等的實數根, 即為函數在區間()內有且只有兩個零點.           6分
         7分
令，因為，解得或（舍）             8分
當時, , 是減函數；當時, ，是增函數 10分
在()內有且只有兩個不相等的零點, 只需 
即 ∴
解得, 所以的取值范圍是() ．
點評：難題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。（I）中要對a的不同取值情況加以討論，在解不等式取舍過程中易于出錯。涉及不等式恒成立問題，轉化成了研究函數的最值，通過構建a的不等式組，求得a的范圍。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。