Question

【題目】如圖，在各棱長均為2的三棱柱中，側(cè)面底面ABC，．

（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小；

（2）已知點(diǎn)D滿足，在直線上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面？若存在，請確定點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）恰好為點(diǎn)．

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出AA1向量，平面AA1C1C的法向量，然后求出側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大小；

（2）在（1）的前提下，求出，設(shè)出P的坐標(biāo)，使DP∥平面AB1C，即與法向量共線，再求出P的坐標(biāo)．

（1）∵側(cè)面底面ABC，作A1O⊥AC于點(diǎn)O，

∴平面．

又，且各棱長都相等，

∴，，．

故以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則，，，，

∴，，．

設(shè)平面的法向量為

則，取，得．

設(shè)側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的為θ，

則，

∴側(cè)棱與平面所成角的正弦值為．

（2）∵，而，

∴，又∵，∴點(diǎn)．

假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為，∴

∵DP∥平面，為平面的法向量，∴，得z=,

又由，得，∴．

又平面，故存在點(diǎn)P，使DP∥平面，其坐標(biāo)為，

即恰好為點(diǎn)．