Question

如圖，四棱錐P--ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB=AD=PB=3，BC=6．點E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求異面直線PA與CD所成的角；
（2）求證：PC∥平面EBD；
（3）求二面角A-BE--D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以點B為坐標原點，以BA為x軸，以BC為y軸，以BP為z軸，建立空間直角坐標至B-xyz，利用兩個向量的所成角即為異面直線CD與PA所成的角，可得結論；
（2）欲證PC∥平面EBD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證PC與平面EBD內一直線平行連接AC交BD于G，連接EG，根據比例關系可知PC∥EG，而EG?平面EBD，PC?平面EBD，滿足定理所需條件；
（3）先求平面EBD的法向量與平面ABE的法向量，然后利用向量的夾角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．
解答：（1）解：如圖，以點B為坐標原點，以BA為x軸，以BC為y軸，以BP為z軸，建立空間直角坐標系B-xyz．

設BC=a，則A（3，0，0），P（0，0，3），D（3，3，0），C（0，6，0）
∴=（3，-3，0），=（3，0，-3）
∴cos＜＞===，
因此異面直線CD與PA所成的角為60°；
（2）證明：連接AC交BD于G，連接EG．
∵，，∴
∴PC∥EG
又∵EG?平面EBD，PC?平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）解：設平面EBD的法向量為=（x，y，1），
設E（a，0，c），則∵PE=2EA，∴（a，0，c-3）=2（3-a，0，-c）
∴a=2，c=1，∴E（2，0，1）
∴=（2，0，1），
∵=（3，3，0）
∴由，可得x=-，y=
∴=（-，，1）
又∵平面ABE的法向量為=（0，1，0），
∴cos（）==．
即二面角A-BE-D的大小的余弦值為．
點評：本題主要考查直線與平面的位置關系、兩異面直線所成角、二面角及其平面角等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．