Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明BD⊥AD、BD⊥PD，可得BD⊥平面PAD，再證明PA⊥BD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAB的法向量、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角A-PB-C的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)椤螪AB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD
從而B(niǎo)D²+AD²=AB²，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，所以BD⊥PD
因?yàn)锳D∩PD=D，所以BD⊥平面PAD
因?yàn)镻A?平面PAD，所以PA⊥BD；
（Ⅱ）解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則A（1，0，0），B(0，

3

，0)，C(-1，

3

，0)，P（0，0，1）．
∴

AB

=(-1，

3

，0)，

PB

=(0，

3

，1)，

BC

=（-1，0，0）
設(shè)平面PAB的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AB =0 n • PB =0

即

-x+ 3 y=0 3 y-z=0

因此可取n=(

3

，1，

3

)
設(shè)平面PBC的法向量為

m

=（x′，y′，z′），則

m • PB =0 m • BC =0

，即

3 y′+z′=0 -x′=0

∴可取

m

=（0，-1，-

3

）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

-4

2 7

=-

2 7

7

         
故二面角A-PB-C的余弦值為-

2 7

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面面角，考查空間向量的運(yùn)用，屬于中檔題．