Question

【題目】在無窮數列中，，且，記的前n項和為.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）證明：中必有一項為1或3.

Answer 1

【答案】（1）37（2）5（3）證明見解析

【解析】

（1）計算數列前9項，再計算和得到答案.

（2）討論為偶數，為偶數，為偶數，為奇數，為奇數，為偶數，為奇數，為奇數四種情況，計算得到答案.

（2）設中最小的奇數為，則，，討論為奇數，為偶數兩種情況，計算得到答案.

（1），故，故.

（2）當為偶數，為偶數時，，無整數解；

當為偶數，為奇數時，，解得，驗證不成立；

當為奇數，為偶數時，，解得，驗證成立；

當為奇數，為奇數時，，無整數解；

綜上所述：.

（3）設中最小的奇數為，則，，

若為奇數，則，解得；

若為偶數，則，，為奇數，解得；

又，∴中必有一項為1或3.

綜上所述：，故中必有一項為1或3.