Question

已知四點O（0，0），F（0，），M（0，1），N（0，2），點P（x，y）在拋物線x²=2y上。
 （Ⅰ）當x₀=3時，延長PN交拋物線于另一點Q，求∠POQ的大小；
 （Ⅱ）當點P（x₀，y₀）（x₀≠0）在拋物線x²=2y上運動時，
ⅰ）以MP為直徑作圓，求該圓截直線y=所得的弦長；
ⅱ）過點P作x軸的垂線交x軸于點A，過點P作該拋物線的切線l交x軸于點B。問：是否總有∠FPB=∠BPA？如果有，請給予證明；如果沒有，請舉出反例。

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，，，，
直線PN：代入，
得，，
所以，，，
所以，。
(Ⅱ) ⅰ）以MP為直徑的圓的圓心為，
，
所以，圓的半徑，
圓心到直線的距離；
故截得的弦長。
ⅱ）總有∠FPB=∠BPA。
證明：，
所以切線l的方程為，即，
令y=0，得，所以點B的坐標為，
點B到直線PA的距離為；
下面求直線PF的方程，
因為，所以直線PF的方程為，
整理，得，
所以點B到直線PF的距離為，
所以，，
所以，∠FPB=∠BPA。