Question

已知四點O（0，0），F(0，

1

2

)，M（0，1），N（0，2）．點P（x₀，y₀）在拋物線x²=2y上
（Ⅰ）當x₀=3時，延長PN交拋物線于另一點Q，求∠POQ的大小；
（Ⅱ）當點P（x₀，y₀）（x₀≠0）在拋物線x²=2y上運動時，
ⅰ）以MP為直徑作圓，求該圓截直線y=

1

2

所得的弦長；
ⅱ）過點P作x軸的垂線交x軸于點A，過點P作該拋物線的切線l交x軸于點B．問：是否總有∠FPB=∠BPA？如果有，請給予證明；如果沒有，請舉出反例．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當x₀=3時，y0=

9

2

，P(3，

9

2

)，kPN=

5

6

，把直線PN：y=

5

6

x+2代入x²=2y，得x2-

5

3

x-4=0，由此入手能求出∠POQ=90°．
（Ⅱ）ⅰ）以MP為直徑的圓的圓心為(

x0

2

，

1

2

y0+

1

2

)，|MP|=

x 2 0 +(y0-1)2

=

2y0+(y0-1)2

=

y02+1

，
所以圓的半徑r=

1

2

y02+1

，圓心到直線y=

1

2

的距離d=|

1

2

y0+

1

2

-

1

2

|=|

1

2

y0|，由此能求出截得的弦長．
（Ⅱ）總有∠FPB=∠BPA．證明：y=

x2

2

，y'=x，kl=y′|x=x0=x0，所以切線l的方程為y=x0x-

x 2 0

2

，令y=0，得x=

x0

2

，所以點B的坐標為B(

x0

2

，0)，點B到直線PA的距離為d1=

|x0|

2

，再求出直線PF的方程（x₀²-1）x-2x₀y+x₀=0，
所以點B到直線PF的距離為d2=

|( x 2 0 -1) x0 2 +x0|

( x 2 0 -1)2+(2x0)2

=

|( x 2 0 +1) x0 2 |

( x 2 0 +1)2

=

|x0|

2

，由此知∠FPB=∠BPA．

解答：解：（Ⅰ）當x₀=3時，y0=

9

2

，P(3，

9

2

)，kPN=

5

6

直線PN：y=

5

6

x+2代入x²=2y，得x2-

5

3

x-4=0，x=-

4

3

，3，
所以Q(-

4

3

，

8

9

)，

OP

•

OQ

=3×(-

4

3

)+

9

2

×

8

9

=0，
所以∠POQ=90°（5分）
（Ⅱ）ⅰ）以MP為直徑的圓的圓心為(

x0

2

，

1

2

y0+

1

2

)，|MP|=

x 2 0 +(y0-1)2

=

2y0+(y0-1)2

=

y02+1

，
所以圓的半徑r=

1

2

y02+1

，
圓心到直線y=

1

2

的距離d=|

1

2

y0+

1

2

-

1

2

|=|

1

2

y0|；
故截得的弦長l=2

r2-d2

=2

1 4 y 2 0 + 1 4 - 1 4 y 2 0

=1（10分）
（Ⅱ）總有∠FPB=∠BPA．（11分）
證明：y=

x2

2

，y'=x，kl=y′|x=x0=x0，
所以切線l的方程為y-

x 2 0

2

=x0(x-x0)，即y=x0x-

x 2 0

2

令y=0，得x=

x0

2

，所以點B的坐標為B(

x0

2

，0)（12分）
點B到直線PA的距離為d1=

|x0|

2

，
下面求直線PF的方程
因為F(0，

1

2

)，所以直線PF的方程為y-

1

2

=

x 2 0 2 - 1 2

x0

(x-0)，
整理得（x₀²-1）x-2x₀y+x₀=0
所以點B到直線PF的距離為d2=

|( x 2 0 -1) x0 2 +x0|

( x 2 0 -1)2+(2x0)2

=

|( x 2 0 +1) x0 2 |

( x 2 0 +1)2

=

|x0|

2

，
所以d₁=d₂
所以∠FPB=∠BPA（15分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．