Question

20、函數f（x）對任意的實數m、n有f（m+n）=f（m）+f（n），且當x＞0時有f（x）＞0、
（1）求證：f（x）在（-∞，+∞）上為增函數；
（2）若f（1）=1，解不等式f[log₂（x²-x-2）]＜2．

Answer 1

分析：（1）利用單調性的定義證明，任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，證明即f（x₁）＜f（x₂），即可；
（2）先將原不等式化成f[log₂（x²-x-2）]＜f（2），再利用（1）的結論脫“f”符號轉化為對數不等式解之即可．

解答：解：（1）證明：設x₂＞x₁，則x₂-x₁＞0、
∵f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+
f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），f（x）在（-∞，+∞）上為增函數
（2）∵f（1）=1，∴2=1+1=f（1）+f（1）=f（2）
又f[log₂（x²-x-2）]＜2，∴f[log₂（x²-x-2）]＜f（2）
∴log₂（x²-x-2）＜2，于是
∴即-2＜x＜-1或2＜x＜3
∴原不等式的解集為{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．