Question

設函數．
（1）證明：f（x）是奇函數；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）寫出函數圖象的一個對稱中心．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知中函數的解析式及定義域，我們只要根據對數的運算性質求出f（-x）的解析式，與f（x）比較后可得f（x）是奇函數；
（2）根據復合函數單調性的求出，我們分別確定u=和y=log₂u，進而根據同增異減的原則，可以分析出f（x）的單調區間；
（3）根據函數f（x）與函數g（x）解析式的關系，易得函數=的圖象是由f（x）圖象向左平移一個單位得到的，結合（1）中結論可得函數g（x）圖象的對稱中心．
解答：解：（1）∵函數
且===-f（x）
即f（x）是奇函數；（4分）
（2））∵函數=
∵在上u=為增函數，y=log₂u也為增函數
∴是函數的單調遞增區間
又∵奇函數在對稱區間上單調性相同
∴也是函數的單調遞增區間…（6分）
（3）由（1）中f（x）是奇函數
故f（x）圖象的對稱中心為原點（0，0）
∵函數=的圖象是由f（x）圖象向左平移一個單位得到的
故函數圖象的對稱中心為（-1，0）…（4分）
點評：本題是函數奇偶性的證明，函數單調區間的求法，及函數圖象平移的綜合應用，其中（1）（2）的關鍵是熟練掌握判定函數奇偶性及單調性的方法，（3）的關鍵是分析出兩個函數圖象之間的位置關系．