Question

【題目】已知函數.

（1）若是定義域上的增函數，求的取值范圍；

（2）設，分別為的極大值和極小值，若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先寫出函數的定義域，對函數求導，是定義域上的增函數，轉化為，即恒成立，從而求出的取值范圍；

（2）將表示為關于的函數，由且，得，設方程，即得兩根為，，且，利用韋達定理可得，，由，從而得到，根據題意可得，由得，將其代入上邊式子可得，之后令，則，從而有，，則，利用導數研究函數可得結果.

（1）的定義域為，

∵在定義域內單調遞增，∴，即對恒成立.

則恒成立.

∴ ∵ ∴

所以，的取值范圍是

（2）將表示為關于的函數，

由且，得

設方程，即得兩根為，，且.

則，，∵，

∴ ∴

∵

∴代入得

令，則，得，，則

∴而且上遞減，從而

即 ∴.