Question

已知l₁、l₂是過點P（－，0）的兩條互相垂直的直線，且l₁、l₂與雙曲線y²－x²＝1各有兩個交點，分別為A₁、B₁和A₂、B₂.

（Ⅰ）求l₁的斜率k₁的取值范圍；

（Ⅱ）（理）若|A₁B₁|＝|A₂B₂|，求l₁、l₂的方程.

（文）若A₁恰是雙曲線的一個頂點，求|A₂B₂|的值.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）依題設l1、l2的斜率都存在，因為l1過點P（－，0）且與雙曲線有兩個交點，故方程  ①k1≠0有兩個不同的解 整理得（k12－1）x2＋2k12x＋2k12－1＝0          ② 若k12－1＝0，則方程組①只有一個解，即l1與雙曲線只有一個交點與題設 矛盾，故k12－1≠0即k12≠1 所以方程②的判別式Δ＝（2k12）2－4（k12－1）（2k12－1）＝4（3k12－1） 又設l2的斜率為k2，l2過點P（－，0）且與雙曲線有 兩個交點，故方程組   ③有兩個不同的解 整理得（k22－1）x2＋2k22x＋2k22－1＝0          ④ 同理有k22－1≠0，Δ＝4（3k22－1） 因為l1⊥l2，所以k1·k2＝－1 所以l1、l2與雙曲線各有兩個交點等價于 整理得 ∴k1∈（－，－1）∪（－1，）∪（，1）∪（1，） （Ⅱ）（理）設A1（x1，y1）、B1（x2，y2）由方程②知 ． 所以|A1B1|2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（1＋k12）（x1－x2）2 ＝             ⑤ 同理，由方程④可得 |A2B2|2＝     ⑥ 由|A1B1|＝|A2B2|得|A1B1|2＝|A2B2|2， 將⑤、⑥代入上式得 解得k1＝±． 取k1＝時， l1：y＝（x＋），l2：y＝－（x＋）； 取k1＝－時， l1：y＝－（x＋），l2：y＝（x＋）． （Ⅱ）（文）雙曲線y2－x2=1的頂點為（0，1）、（0，－1）. 取A1（0，1）時，有：k1（0+）=1，∴k1=，從而k2=－=－. 將k2=－代入④，得x2+4x+3=0          ⑦ 記直線l2與雙曲線的兩交點為A2（x1，y1）、B2（x2，y2） 則|A2B2|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2=3（x1－x2）2=3［（x1+x2）2－4x1x2］ 由⑦，知x1+x2=－4，x1·x2=3，∴|A2B2|2=60 即|A2B2|=2. 當取A1（0，－1）時，由雙曲線y2－x2=1關于x軸的對稱性，知|A2B2|=2. 所以l1過雙曲線的一個頂點時，|A2B2|=2.