Question

已知l₁、l₂是過點P（-，0）的兩條互相垂直的直線，且l₁、l₂與雙曲線y²-x²=1各有兩個交點，分別為A₁、B₁和A₂、B₂．
（1）求l₁的斜率k₁的取值范圍；
（2）若|A₁B₁|=|A₂B₂|，求l₁、l₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）顯然l₁、l₂斜率都存在，設l₁的斜率為k₁，得到l₁、l₂的方程，將直線方程與雙曲線方程聯立方程組，消去y得到關于x的二次方程，再結合根的判別即可求得斜率k₁的取值范圍；
（2）利用（1）中得到的關于x的二次方程，結合根與系數的關系，利用弦長公式列關于k的方程，解方程即可求得k值，從而求出l₁、l₂的方程．
解答：解：（1）顯然l₁、l₂斜率都存在，否則l₁、l₂與曲線不相交．設l₁的斜率為k₁，則l₁的方程為y=k₁（x+）．
聯立得y=k₁（x+），y²-x²=1，
消去y得
（k₁²-1）x²+2k₁²x+2k₁²-1=0．①
根據題意得k₁²-1≠0，②
△₁＞0，即有12k₁²-4＞0．③
完全類似地有-1≠0，④
△₂＞0，即有12•-4＞0，⑤
從而k₁∈（-，-）∪（，）且k₁≠±1．
（2）由弦長公式得
|A₁B₁|=．⑥
完全類似地有
|A₂B₂|=．⑦
∵|A₁B₁|=|A₂B₂|，
∴k₁=±，k₂=．從而
l₁：y=（x+），l₂：y=-（x+）或l₁：y=-（x+），l₂：y=（x+）．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的交點，直線和圓錐曲線的位置是解析幾何中的一個重點內容，也是一個難點，在高考試題中占有一席之地，屬于中檔題．