Question

若存在實(shí)數(shù)p∈[-1，1]，使得不等式px²+（p-3）x-3＞0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：把已知不等式整理為關(guān)于p的一元一次不等式，而不等式左邊為關(guān)于p的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得此函數(shù)的最值只有在[-1，1]的端點(diǎn)取得，根據(jù)題意不等式恒成立可得當(dāng)p=-1時(shí)，最小值大于0即可，故把p=-1代入不等式，得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍．
解答：解：不等式px²+（p-3）x-3＞0可以化為：p（x²-3x）-3x-3＞0，
這是一個(gè)關(guān)于p的一元一次不等式，
函數(shù)p（x²+x）-3x-3是關(guān)于p的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖象是直線，在定義域上是單調(diào)遞增或遞減，
P∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)p（x²+x）-3x-3的最小值必定在端點(diǎn)-1或1處取到，
不等式px²+（p-3）x-3＞0總成立，只需最小值大于0即可．
∴-x²+（-1-3）x-3＞0，即x²+（1+3）x+3＜0，
解得：-3＜x＜-1，
則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（-3，-1）．
故答案為：（-3，-1）
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解函數(shù)恒成立時(shí)的條件的能力，以及靈活運(yùn)用一元二次不等式解法的能力．