Question

(2013·安徽高考)設數列{a_n}滿足a₁＝2，a₂＋a₄＝8，且對任意n∈N^*，函數f(x)＝x＋a_n＋1cos x－a_n＋2sin x滿足f′＝0．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若b_n＝2，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（1）a_n＝n＋1    （2）S_n＝n²＋3n＋1－

(1)由題設可得f′(x)＝a_n－a_n＋1＋a_n＋2－a_n＋1sin x－a_n＋2cos x．
對任意n∈N^*，f′＝a_n－a_n＋1＋a_n＋2－a_n＋1＝0，
即a_n＋1－a_n＝a_n＋2－a_n＋1，故{a_n}為等差數列．
由a₁＝2，a₂＋a₄＝8解得{a_n}的公差d＝1，
所以a_n＝2＋1·(n－1)＝n＋1．
(2)由b_n＝2＝2＝2n＋＋2知，
S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝2n＋2·＋＝n²＋3n＋1－．