Question

（本小題滿分12分）
如圖，為橢圓上的一個動點，弦、分別過焦點、，當垂直于軸時，恰好有

(Ⅰ)求橢圓的離心率；
(Ⅱ)設.
①當點恰為橢圓短軸的一個端點時，求的值；
②當點為該橢圓上的一個動點時，試判斷是否為定值？
若是，請證明；若不是，請說明理由.

Answer 1

(1) (2)(3)

試題分析：（Ⅰ）法一：設，則.由題設及橢圓定義得
，消去得，所以離心率. ………………2分
法二：由橢圓方程得，又，，即，可求.
(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)知，，所以橢圓方程可化為.
①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，，直線的方程為.
由得，解得，
∴點的坐標為.
又，所以，，所以，. ………5分
②當A點為該橢圓上的一個動點時，為定值6.
證明：設，，則.
若為橢圓的長軸端點，則或，
所以.               ………………7分
若為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則由得，，所以.
又直線的方程為，所以由得
.
，∴.
由韋達定理得　，所以.　同理.
∴.
綜上證得，當A點為該橢圓上的一個動點時，為定值6. ………………12分
法二：設，，則
∵，∴；            ………………6分
又①，②，將、代入②得：
 即③；
③①得：；                               ……………10分
同理：由得，∴，
∴.                                           ……………12分
點評：解決該試題的關鍵是能利用聯立方程組的方法，結合韋達定理，以及判別式，來表示參數的值，進而結合函數的表達式化簡求解為定值，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題。