Question

已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點 任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。
（1）求曲線的方程；
（2）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分。

Answer 1

(1) 
(2) 略

解：（1）設為曲線上的任意一點，則點在圓上，
∴，曲線的方程為．        
（2）設點的坐標為，直線的方程為，　　　 　
代入曲線的方程，可得　
，　                             
∵，∴，
　 ∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據點M在橢圓的內部得到此結論）
設點,的坐標分別, ，
則，                       
要使被軸平分，只要，
即，，              
也就是，，
即，即只要　　 
當時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．
所以在x軸上存在定點，使得總能被軸平分．