Question

【題目】已知函數f（x）=x+lg +x）的定義域是R．
（1）判斷f（x）在R上的單調性，并證明；
（2）若不等式f（m3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0對任意x∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為函數f（x）的定義域為R，對于函數f（x）定義域內的每一個x，都有

f（﹣x）=﹣x+lg（ ）=﹣x+lg =﹣f（x），．

所以，函數f（x）=x+lg +x）是奇函數．

設x1，x2是（0，+∞）上任意兩個實數，且x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+lg ．．

由x1＜x2，

得x1﹣x2＜0，lg ＜1．

于是f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2）=（．

所以函數在（0，+∞）上是增函數，且f（x）＞0，、f（0）=0，

根據奇函數的性質可得f（x）在R上的單調遞增

（2）解：f（m3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0 等價于 m3x＜﹣3x+9x+4，

即 m＜3x ﹣3

令t=3x，設函數g（t）=t+ ﹣3．

由函數g（t）的單調性可知最小值為1，

∴m＜1．

∴實數m的取值范圍（﹣∞，1）

【解析】（1）判斷函數的奇偶性，再證明x＞0的單調性，得出整個單調性；（2）利用函數的奇偶性和單調性對不等式進行轉化，把恒成立問題轉化為最值問題．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．