Question

如圖，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且開(kāi)口向右，點(diǎn)A，B，C在拋物線(xiàn)上，△ABC的重心F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)AB的方程為。

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M為某定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于P，Q兩點(diǎn)，試推斷是否存在定點(diǎn)M，使得以線(xiàn)段PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ）y²＝16x

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）設(shè)拋物線(xiàn)方程為，

聯(lián)立消去x，得。                              （2分）

設(shè)點(diǎn)，則，

所以。                          （4分）

設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椤?i>ABC的重心為，則

，所以。                    （5分）

因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，則，解得p＝8，此時(shí)。

故拋物線(xiàn)方程為y²＝16x。                                                       （6分）

（Ⅱ）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M的動(dòng)直線(xiàn)l的方程為，代入拋物線(xiàn)方程y²＝16x，得

，所以。                                       （8分）

若以線(xiàn)段PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即。

所以，即，所以.

因?yàn)?img width=37 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/150/47350.gif">，所以。                                                 （10分）

所以直線(xiàn)l的方程為，即，從而直線(xiàn)l必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。（11分）

若直線(xiàn)l的斜率不存在，因?yàn)橹本�(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為，此時(shí)仍有。故存在定點(diǎn)滿(mǎn)足條件。                                （13分）