Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cos

A

2

=

2 5

5

，bc=5．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由二倍角的余弦公式算出cosA=

3

5

，再由同角三角函數的關系算出sinA=

1-cos2A

=

4

5

，根據三角形的面積公式即可算出△ABC的面積；
（II）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得a²=（b+c）²-2bc（1+cosA）．再代入題中的數據加以計算，即可得到邊a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵cos

A

2

=

2 5

5

，
∴cosA=2cos2

A

2

-1=

3

5

．
又∵0＜A＜π，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

．
∵bc=5，
∴△ABC的面積為S△ABC=

1

2

bcsinA=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的計算，可得cosA=

3

5

．
又∵bc=5且b+c=6，
∴根據余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
可得a²=（b+c）²-2bc（1+cosA）=6²-2×5×（1+

3

5

）=36-16=20．
解得a=2

5

（舍負）．

點評：本題給出三角形內角A一半的余弦與b、c的積，求三角的面積并依此求邊a的長．著重考查了三角形的面積公式、同角三角函數的基本關系和余弦定理等知識，屬于中檔題．