Question

【題目】已知函數，．

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數與的圖象有兩個不同的交點，，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時，在遞增；當時，遞增區間為，遞減為；（2）．

【解析】

（1）求得，分類討論，根據導函數的符號，即可求得函數的單調區間；

（2）函數與有兩個不同的交點轉化為函數有兩個不同的零點，，當時，利用函數單調性與最值，構造，利用導數求得函數的單調性和最值，即可求解.

（1）由函數，，

可得，則，

當時，，函數在單調遞增；

當時，，

令，解得；令，解得，

∴函數的單調遞增區間為，單調遞減為，

綜上可得：當時，函數在單調遞增；

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減為．

（2）函數與有兩個不同的交點、，其中，

等價于函數有兩個不同的零點，，其中．

由（Ⅰ）知，當時，函數在上是增函數，不可能有兩個零點，

當時，在上是增函數，在上是減函數，

此時為函數的最大值，

當時，最多有一個零點，∴，解得，

此時，，且，

，

令，則，

∴在上單調遞增，

∴，即，

∴的取值范圍是．