【題目】已知函數
.
（1）若過點
的直線
與曲線
相切，求直線的斜率的值；
（2）設
，若
，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）設直線
的方程為
，設切點坐標為
，根據題意可得出關于
、
的方程組，求出、的值，進而可得出
的值；
（2）根據題意知，當
時，
，當
時，
，然后求得函數
的導數，對實數
的取值進行分類討論，利用導數分析函數的單調性，驗證條件“當時，，當時，”是否滿足，由此可得出實數的取值范圍.
（1）因為直線過點
，不妨設直線的方程為，由題意得
，
設切點為，則
，解得
.
直線過點
，則有
，解得
，即直線的斜率為；
（2）
，
.
①若
，則當
時，
，函數在
上單調遞減，
此時
，即
，不合乎題意；
②若
，則
，當且僅當
時等號成立.
（i）當
時，
，函數在
上單調遞增.
又
，所以當
時，
；當
時，
.
于是有
；
（ii）當
時，記
，則
，
當
時，，所以函數在
上單調遞減，
此時
，即，不合乎題意；
（iii）若
，記
，則
，
當
時，，所以函數在
上單調遞減，
此時，即，不合乎題意.
綜上所述，實數的取值范圍是
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
（
）的右頂點為
．左、右焦點分別為
，
，過點且垂直于
軸的直線交橢圓于點
（在第象限），直線
的斜率為
，與
軸交于點
．
（1）求橢圓的標準方程;
（2）過點的直線與橢圓交于
、
兩點（、不與
、重合），若
，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高中社團進行社會實踐，對[25，55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次是否開通“微博”的調查，若開通“微博”的稱為“時尚族”，否則稱為“非時尚族”，通過調查分別得到如圖所示統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖： 
完成以下問題：
（Ⅰ）補全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；
（Ⅱ）從[40，50）歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取18人參加網絡時尚達人大賽，其中選取3人作為領隊，記選取的3名領隊中年齡在[40，45）歲的人數為X，求X的分布列和期望E（X）..
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D與AD1交于點E，AA1＝AD＝2AB＝4.
（1）證明：AE⊥平面ECD.
（2）求直線A1C與平面EAC所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E：
，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與E有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．
若
，點K在橢圓E上，
、
分別為橢圓的兩個焦點，求
的范圍；
證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
若l過點
，射線OM與橢圓E交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時直線l斜率；若不能，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值為M，正實數a，b滿足a+b＝M．
（1）求2a2+b2的最小值；
（2）求證：aabb≥ab．
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