Question

【題目】在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為 （t為參數）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：ρ=2 cos（θ﹣ ）．
（Ⅰ） 求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ） 求曲線C上的點到直線l的距離的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 由直線l的參數方程 消去t參數，得x+y﹣4=0，

∴直線l的普通方程為x+y﹣4=0．

由 = ．

得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．

將ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，

得：曲線C的直角坐標方程為x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．

（Ⅱ） 法1：設曲線C上的點為 ，

則點P到直線l的距離為 = =

當 時，

∴曲線C上的點到直線l的距離的最大值為 ；

法2：設與直線l平行的直線為l'：x+y+b=0．

當直線l'與圓C相切時，得 ，解得b=0或b=﹣4（舍去）．

∴直線l'的方程為x+y=0．

那么：直線l與直線l'的距離為

故得曲線C上的點到直線l的距離的最大值為 .

【解析】（Ⅰ）消去參數方程的參數即可求得普通方程；（Ⅱ）可以利用曲線C的參數方程設出曲線C上的一點P的坐標，進而求得曲線C上的點到直線l的距離的一般代數式，求得其最大值即可；或者求得與直線l平行，且與曲線C相切的直線l'的方程，再求得兩條平行線間的距離，即求得曲線C上的點到直線l的距離的最大值.