Question

已知函數f（x）=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，求正實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1時，求函數f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）當a=1時，對任意的正整數n＞1，求證：f(

n

n-1

)＞0，且不等式lnn＞Inn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

都成立．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，可得當x∈[1，+∞）時，不等式a≥

1

x

恒成立，求出

1

x

的最大值，即可得到實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1時，f′(x)=

x-1

x2

確定函數f（x）在[

1

2

，2]上的單調性，即可求得函數的最大值與最小值；
（Ⅲ）當a=1時，由（Ⅰ）知f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上是增函數，可證明ln

n

n-1

＞

1

n

，疊加，即可證得結論．

解答：（I）解：由題設可得f′(x)=

ax-1

ax2

(a＞0)
∵函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴當x∈[1，+∞）時，不等式f′(x)=

ax-1

ax2

≥0即a≥

1

x

恒成立．
∵當x∈[1，+∞）時，

1

x

的最大值為1，∴實數a的取值范圍是[1，+∞）；------------（4分）
（Ⅱ）解：當a=1時，f′(x)=

x-1

x2

∴當x∈[

1

2

，1)時，f'（x）＜0，于是f（x）在[

1

2

，1)上單調遞減；
當x∈（1，2]時，f'（x）＞0，于是f（x）在（1，2]上單調遞增．
又f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

＞0⇒f(

1

2

)＞f(2)
綜上所述，當x=1時，函數f（x）在[

1

2

，2]上的最小值為f（1）=0，當x=

1

2

時，
函數f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為f(

1

2

)=1-ln2--------------------（8分）
（Ⅲ）證明：當a=1時，由（Ⅰ）知f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上是增函數
∴對于任意的正整數n＞1，有

n

n-1

＞1，則f(

n

n-1

)＞f(1)=0--------------（10分）
而f(

n

n-1

)=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，
∴ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．
而ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

=lnn，
則lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

成立----------（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查不等式的證明，解題的關鍵是確定函數的單調性．