Question

命題P：函數y=（a²-4a）x為減函數；命題Q：關于x的方程x²-x+a=0有實數根．若P和Q有且只有一個為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據一次函數的單調性與一次項系數的關系，可求出命題P為真時實數a的取值范圍，根據二次方程根的個數與判別式的關系，可求出命題Q為真時實數a的取值范圍，進而結合P和Q有且只有一個為真命題，分類討論后，綜合討論結果可得答案．

解答：解：若函數y=（a²-4a）x為減函數
則a²-4a＜0
解得：0＜a＜4
即命題P為真時：0＜a＜4
若關于x的方程x²-x+a=0有實數根
則1-4a≥0
解得：a≤

1

4

即命題Q為真時：a≤

1

4

∵P和Q有且只有一個為真命題
當p真q假時，

1

4

＜a＜4
當p假q真時，a≤0
綜上實數a的取值范圍為（-∞，0]∪（

1

4

，4）

點評：本題以復合命題的真假判斷為載體考查了函數的單調性及二次方程根的個數與判別式的關系，難度不大，屬于基礎題．