Question

【題目】設是等差數列，公差為，前項和為.

（1）設，，求的最大值.

（2）設，，數列的前項和為，且對任意的，都有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2020（2）

【解析】

（1）運用等差數列的通項公式可得公差d，再由等差數列的求和公式，結合配方法和二次函數的最值求法，可得最大值；

（2）由題意可得數列{bn}為首項為2，公比為2d的等比數列，討論d＝0，d＞0，d＜0，判斷數列{bn}的單調性和求和公式，及范圍，結合不等式恒成立問題解法，解不等式可得所求范圍．

（1）a1＝40，a6＝38，可得d，

可得Sn＝40nn（n﹣1）（n）2，

由n為正整數，可得n＝100或101時，Sn取得最大值2020；

（2）設，數列{bn}的前n項和為Tn，

可得an＝1+（n﹣1）d，數列{bn}為首項為2，公比為2d的等比數列，

若d＝0，可得bn＝2；d＞0，可得{bn}為遞增數列，無最大值；

當d＜0時，Tn，

對任意的n∈N*，都有Tn≤20，可得20，且d＜0，

解得d≤．