Question

【題目】如圖，在四棱錐中，與都是邊長為2的等邊三角形，為等腰直角三角形，，.

（1）證明：；

（2）若為的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）構造平面，通過線面垂直證明兩條異面直線垂直；

（2）構造空間直角坐標系，求兩個平面的法向量，利用法向量求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）證明：如圖，設的中點為，連接，.

∵，為等邊三角形，

∴，且.

又∵平面，平面，.

∴平面，又平面，

∴.

（2）解：∵，的邊長為2，

∴，

在中，，所以，

∴.

且，，平面，平面，

∴平面，

且，

∴如圖，以為坐標原點，以，，的方向為，，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系.連接，在等腰直角三角形中，

則，，，，，，

，，，.

設平面的一個法向量為，則，即，

令得；

設平面的一個法向量為，則，

即，

令得，

，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.