Question

如圖，在平面斜坐標系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一點P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若＝xe₁＋ye₂(其中e₁、e₂分別為與x軸、y軸同方向的單位向量)，則P點斜坐標為(x，y)．

(1)若P點斜坐標為(2，－2)，求P到O的距離|PO|；
(2)求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程．

Answer 1

（1）|OP|＝2（2）x²＋y²＋xy＝1

(1)∵P點斜坐標為(2，－2)，∴＝2e₁－2e₂.
∴||²＝(2e₁－2e₂)²＝8－8e₁·e₂＝8－8×cos60°＝4.
∴||＝2，即|OP|＝2.
(2)設圓上動點M的斜坐標為(x，y)，則＝xe₁＋ye₂.
∴(xe₁＋ye₂)²＝1.∴x²＋y²＋2xye₁·e₂＝1.∴x²＋y²＋xy＝1.
故所求方程為x²＋y²＋xy＝1.