Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在坐標原點O，右焦點為F.若C的右準線l的方程為x＝4，離心率e＝.

(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設點P為準線l上一動點，且在x軸上方．圓M經過O、F、P三點，求當圓心M到x軸的距離最小時圓M的方程．

Answer 1

（1）＝1（2）(x－1)²＋(y－2)²＝9.

(1)由題意，設橢圓C的標準方程為＝1(a>b>0)，則解得a＝2，c＝2.從而b²＝a²－c²＝4.所以所求橢圓C的標準方程為＝1.
(2)(解法1)由(1)知F(2，0)．由題意可設P(4，t)，t>0.
線段OF的垂直平分線方程為x＝1.①
因為線段FP的中點為，斜率為，
所以FP的垂直平分線方程為y－＝－(x－3)，即y＝－x＋＋.②
聯立①②，解得即圓心M.
因為t>0，所以＋≥2＝2，當且僅當＝，即t＝2時，圓心M到x軸的距離最小，此時圓心為M(1，2)，半徑為OM＝3.故所求圓M的方程為(x－1)²＋(y－2)²＝9.
(解法2)由(1)知F(2，0)．由題意可設P(4，t)，t>0.因為圓M過原點O，故可設圓M的方程為x²＋y²＋Dx＋Ey＝0.將點F、P的坐標代入得解得
所以圓心M的坐標為，即(1，＋)．因為t>0，所以＋≥2＝2，當且僅當＝，即t＝2時，圓心M到x軸的距離最小，此時E＝－4.故所求圓M的方程為x²＋y²－2x－4y＝0.D＝－2，