Question

(本小題滿分12分）有一批貨物需要用汽車從城市甲運至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過這兩條公路所用的時間互不影響.據調查統計，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數分布如下表：所用的時間（天數）

(I)為進行某項研究，從所用時間為12天的60輛汽車中隨機抽取6輛.
(i) 若用分層抽樣的方法抽取，求從通過公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛；
(ii)若從（i)的條件下抽取的6輛汽車中，再任意抽取兩輛汽車，求這兩輛汽車至少有一輛通過公路1的概率.
(II)假設汽車4只能在約定日期(某月某日）的前11天出發，汽車1只能在約定日期的前12天出發.為了盡最大可能在各自允許的時間內將貨物運往城市乙，估計汽車4和汽車S應如何選擇各自的路徑.

Answer 1

（Ⅰ）（i）公路1抽取輛汽車,
公路2抽取輛汽車.……………………2分
(ii) 通過公路1的兩輛汽車分別用表示，通過公路2的4輛汽車分別用表示，
任意抽取2輛汽車共有15種可能的結果：
，，，，，，，，，，，，，，，………………………4分
其中至少有1輛經過公路1的有9種，
所以至少有1輛經過1號公路的概率.…………………6分
　（Ⅱ）頻率分布表，如下：

所用時間	10	11	12	13
公路1的頻率	0.2	0.4	0.2	0.2
公路2的頻率	0.1	0.4	0.4	0.1

………………………………8分
設分別表示汽車A在前11天出發選擇公路1、2將貨物運往城市乙；分別表示汽車B在前12天出發選擇公路1、2將貨物運往城市乙.
　,　   .
∴　汽車A應選擇公路1. …………………………10分
　,　,
∴　汽車B應選擇公路2.…………………………12分

(I)(i)根據頻數表，可求出所用時間為12天時，公路1，公路2各占的車輛的比例，然后乘以6即可得到要抽取的車輛數。
(ii)屬于古典概型概率，要把試驗的結果一一列出來，再把事件包含的結果列出來。然后根據古典概型概率計算公式計算即可。
（II）選擇各路徑的事件之間是互斥的。概率互斥事件概率公式易求所求事件的概率。