Question

已知f（x）=x³+3x²+a（a為常數）在[-3，3]上有最小值3，求f（x）在[-3，3]上的最大值？

Answer 1

f′（x）=3x²+6x，
令f′（x）=0，得3x（x+2）=0⇒x=0，x=-2．
當0≤x≤3，或-3≤x≤-2時，f′（x）≥0，f（x）單調遞增；
當-2＜x＜0時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
則最小值為f（-3）或f（0），
而f（-3）=（-3）³+3×（-3）²+a=a，f（0）=a，
又最小值為3，∴a=3，
∴f（x）=x³+3x²+3，其最大值為f（-2）或f（3），
∵f（-2）=（-2）³+3×（-2）²+3=7，f（3）=3³+3×3²+3=57，
故f（x）在[-3，3]上的最大值為57．