Question

已知函數(shù). 
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若在上存在一點(diǎn)，使得＜成立，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（Ⅲ）所求的范圍是：或．

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，求出，得切線斜率，由點(diǎn)斜式可寫出曲線在處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先確定定義域，可通過單調(diào)性的定義，或求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，由于，含有對(duì)數(shù)函數(shù)，可通過求導(dǎo)來確定單調(diào)區(qū)間，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由此需對(duì)參數(shù)討論，有范圍判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而得單調(diào)性；（Ⅲ）若在上存在一點(diǎn)，使得＜成立，既不等式＜有解，即在上存在一點(diǎn)，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零，結(jié)合（Ⅱ），分別討論它的最小值情況，從而可求出的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030739923500.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，，，
，,切點(diǎn)，斜率
∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為
（Ⅱ），
  
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上，在上，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)，即時(shí)，在上，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
（Ⅲ）在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零．
由（Ⅱ）可知：①當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞減，
所以的最小值為，由可得，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030741420562.png" style="vertical-align:middle;" />，所以；
②當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞增，
所以最小值為，由可得；
③當(dāng)，即時(shí)，可得最小值為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030741608651.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
故此時(shí)不存在使成立．
綜上可得所求的范圍是：或．