Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）當時，求函數的極小值；

（Ⅱ）若函數有且只有一個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）當時，求，求出的解，進而求出單調區間，即可求出極值；

（Ⅱ）求出，若，的極小值滿足條件，當，討論的大小，求出單調區間，極值的正負，結合零點存在性定理，即可求出結論.

（Ⅰ），

所以單調遞增區間是，單調遞減區間是，

所以的極小值為．

（Ⅱ），，

當時，在）單調遞增，

單調遞減，極大值為，

當時，即時，有一個零點；

當時，即時，

在單調遞增，單調遞減，

單調遞增，由，

當時，，所以有一個零點；

當時，即時，

在單調遞增，由，

當時，，所以有一個零點；

當時，即時，

在單調遞增，單調遞減，

單調遞增，由，

，

當時，，所以有一個零點；

綜上，有一個零點時，的取值范圍為：