【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數，將曲線經過伸縮變換
后得到曲線
.在以原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線
的極坐標方程為
.
（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標方程；
（2）已知點
是曲線上的任意一點，又直線上有兩點
和
，且
，又點的極角為
，點的極角為銳角.求：
①點的極角；
②
面積的取值范圍.
【答案】（1）曲線
為圓心在原點，半徑為2的圓.的極坐標方程為
（2）①
②
【解析】
（1）求得曲線
伸縮變換后所得的參數方程，消參后求得的普通方程，判斷出對應的曲線，并將的普通方程轉化為極坐標方程.
（2）
①將
的極角代入直線
的極坐標方程，由此求得點的極徑，判斷出
為等腰三角形，求得直線的普通方程，由此求得
，進而求得
，從而求得點
的極角.
②解法一：利用曲線的參數方程，求得曲線上的點
到直線的距離
的表達式，結合三角函數的知識求得的最小值和最大值，由此求得
面積的取值范圍.
解法二：根據曲線表示的曲線，利用圓的幾何性質求得圓上的點到直線的距離的最大值和最小值，進而求得面積的取值范圍.
（1）因為曲線的參數方程為
（
為參數），
因為
則曲線的參數方程
所以的普通方程為
.所以曲線為圓心在原點，半徑為2的圓.
所以的極坐標方程為
，即.
（2）①點的極角為
，代入直線的極坐標方程
得點
極徑為
，且
，所以為等腰三角形，
又直線的普通方程為
，
又點的極角為銳角，所以，所以，
所以點的極角為
.
②解法1：直線的普通方程為.
曲線上的點到直線的距離
.
當
，即
（
）時，
取到最小值為
.
當
，即
（）時，
取到最大值為
.
所以面積的最大值為
；
所以面積的最小值為
；
故面積的取值范圍.
解法2：直線的普通方程為.
因為圓的半徑為2，且圓心到直線的距離
，
因為
，所以圓與直線相離.
所以圓上的點到直線的距離最大值為
，
最小值為
.
所以面積的最大值為；
所以面積的最小值為；
故面積的取值范圍.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（其中t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點A的極坐標為
，直線經過點A．曲線C的極坐標方程為
．
（1）求直線的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
（2）過點
作直線的垂線交曲線C于D，E兩點（D在x軸上方），求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱錐
的側棱長都相等，底面
與側面
都是以
為斜邊的等腰直角三角形，
為線段的中點，
為直線
上的動點，若平面
與平面
所成銳二面角的平面角為
，則
的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》中盈不足章中有這樣一則故事：“今有良馬與駑馬發長安，至齊. 齊去長安三千里. 良馬初日行一百九十三里，日增一十二里；駑馬初日行九十七里，日減二里．” 為了計算每天良馬和駑馬所走的路程之和，設計框圖如下圖. 若輸出的 
的值為 350，則判斷框中可填（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有如下命題：①若
的展開式中含有常數項，且
的最小值為
；②
；③若有一個不透明的袋子內裝有大小、質量相同的
個小球，其中紅球有
個，白球有
個，每次取一個，取后放回，連續取三次，設隨機變量
表示取出白球的次數，則
；④若定義在R上的函數
滿足
，則的最小正周期為
；
則正確論斷有______________.（填寫序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數
的定義域為
，其圖象如圖所示．函數
是定義域為
的奇函數，滿足
，且當
時，
．給出下列三個結論：
①
；
②函數在
內有且僅有
個零點；
③不等式
的解集為
．
其中，正確結論的序號是________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對兩個變量
與
進行線性相關性和回歸效果分析，得到一組樣本數據：
、
、
、
，則下列說法不正確的是（ ）
A.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好
B.由樣本數據利用最小二乘法得到的回歸方程表示的直線必過樣本點的中心
C.若變量與之間的相關系數
，則變量與之間具有很強的線性相關性
D.用相關指數
來刻畫回歸效果，越小，說明模型的擬合效果越好
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