Question

【題目】如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分別是棱AB，AD，A1B1 ， A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1 ， BB1上移動，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）

（1）當λ=1時，證明：直線BC1∥平面EFPQ；
（2）是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以D為原點，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正半軸，建立坐標系，則B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），

∴ =（﹣2，0，2）， =（﹣1，0，λ）， =（1，1，0）

λ=1時， =（﹣2，0，2）， =（﹣1，0，1），

∴ =2 ，

∴BC1∥FP，

∵FP平面EFPQ，BC1平面EFPQ，

∴直線BC1∥平面EFPQ；

（2）解：設平面EFPQ的一個法向量為 =（x，y，z），則 ，

∴取 =（λ，﹣λ，1）．

同理可得平面MNPQ的一個法向量為 =（λ﹣2，2﹣λ，1），

若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，則

=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1± ．

∴存在λ=1± ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．

【解析】（1）建立坐標系，求出 =2 ，可得BC1∥FP，利用線面平行的判定定理，可以證明直線BC1∥平面EFPQ；（2）求出平面EFPQ的一個法向量、平面MNPQ的一個法向量，利用面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，建立方程，即可得出結論．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．