Question

已知函數f（x）=．
（1）證明：函數f（x）既是R上的奇函數，也是R上的增函數；
（2）是否存在m使f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）對任意t∈[0，1]均成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據增函數的奇偶性，單調性的定義證明
（2）由（1）知，函數f（x）既是R上的奇函數，∴f（0）=0，f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）可轉化為f（2t²-4）＞-f（4m-2t），即f（2t²-4）＞f（2t-4m），
又函數f（x）是R上的增函數，∴2t²-4＞2t-4m，即2t²-4-2t+4m＞0，
法一：令g（t）=2t^2_-2t+4m-4，t∈[0，1]，只需g（t）min＞0即可
法二：分離參數m，即m＞，t∈[0，1]令g（t）=，只需m＞g（t）max即可．
解答：解：（1）顯然函數的定義域為R，對任意x∈R，都有f（-x）===-=-f（x）
所以函數f（x）既是R上的奇函數．
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=-==
x₁x₂，∵函數y=2^x是R上的增函數，且x₁＜x₂，∴，，f（x₁）-f（x₂）＜0．即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數；
（2）法一：由（1）知，函數f（x）既是R上的奇函數，∴f（0）=0，f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）可轉化為f（2t²-4）＞-f（4m-2t），即f（2t²-4）＞f（2t-4m），
又函數f（x）是R上的增函數，∴2t²-4＞2t-4m，即2t²-4-2t+4m＞0，令g（t）=2t^2_-2t+4m-4，t∈[0，1]，拋物線g（t）=2t^2_-2t+4m-4的開口向上，對稱軸是t=
，且，所以g（t）min=g（）=4m-，故只需4m-，＞0即可，解得．
法二：由（1）知，函數f（x）既是R上的奇函數，∴f（0）=0，f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）可轉化為f（2t²-4）＞-f（4m-2t），即f（2t²-4）＞f（2t-4m），
又函數f（x）是R上的增函數，∴2t²-4＞2t-4m，即2t²-4-2t+4m＞0，即m＞，t∈[0，1]令g（t）=，拋物線g（t）=，的開口向下，對稱軸是t=，且，所以g（t）max=g（）=，故只需．
存在．使f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）對任意t∈[0，1]均成立．
點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性，二次函數的最值鞥基礎知識，考查函數與方程，劃歸與轉化，分類與整合的數學思想方法，以及抽象概括、推理論證和運算求解能力．