Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD．已知ABC=45^o，AB=2，BC=2，SA=SB=．

(1)證明：SABC；
(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見解析，（2）.

試題分析：（1）已知條件為面面垂直，因此由面面垂直性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線面垂直. 作，由側(cè)面底面，得平面.證明線線垂直，有兩個(gè)思路，一是通過線面垂直轉(zhuǎn)化，二是利用空間向量計(jì)算.本題考慮到第二小題，采取空間向量方法. 利用空間向量以算代證，關(guān)鍵正確表示各點(diǎn)及對應(yīng)向量的坐標(biāo)，利用空間向量數(shù)量積進(jìn)行論證.（2）利用空間向量求線面角，關(guān)鍵正確求出平面的一個(gè)法向量，利用兩向量夾角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值的等量關(guān)系進(jìn)行求解.
試題解析：（1）作，垂足為，連結(jié)，
由側(cè)面底面，
得平面   ..2
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044159784531.png" style="vertical-align:middle;" />，所以   3
又，為等腰直角三角形，     4

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系.
，，，，    6
，，，所以    8
（2）設(shè)為平面SAB的法向量
則  得     所以
令x=1                        10
              12
與平面所成的角與與所成的角互余．
所以，直線與平面所成的角正弦值為           13