Question

若 數列{a_n}前n項和為S_n（n∈N*）
（1）若首項a₁=1，且對于任意的正整數n（n≥2）均有

Sn+k

Sn-k

=

an-k

an+k

，（其中k為正實常數），試求出數列{a_n}的通項公式．
（2）若數列{a_n}是等比數列，公比為q，首項為a₁，k為給定的正實數，滿足：
①a₁＞0，且0＜q＜1
②對任意的正整數n，均有S_n-k＞0；
試求函數f（n）=

Sn+k

Sn-k

+k

an-k

an+k

的最大值（用a₁和k表示）

Answer 1

分析：（1）先根據

Sn+k

Sn-k

=

an-k

an+k

，（其中k為正實常數），求出S_n=-a_n（n≥2），然后利用a_n=S_n-S_n-1進行求解，注意驗證首項；
（2）先求出f（n+1），然后根據條件判定f（n+1）-f（n）的符號，從而確定f（n）的單調性，從而求出最大值．

解答：解：（1）∵

Sn+k

Sn-k

=

an-k

an+k

，（其中k為正實常數），
∴S_n=-a_n（n≥2）
∴當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1
即

an

an-1

=

1

2

，a₂=-

1

2

∴an=

-( 1 2 )n-1，n≥2 1，n=1

（2）f（n）=

Sn+k

Sn-k

+k

an-k

an+k

f（n+1）=

Sn+1+k

Sn+1-k

+k

an+1-k

an+1+k

=

Sn+an+1+k

Sn+an+1-k

+k

anq -k

anq+k

∵a₁＞0，且0＜q＜1對任意的正整數n，均有S_n-k＞0
∴f（n+1）-f（n）=

Sn+an+1+k

Sn+an+1-k

+k

anq -k

anq+k

-

Sn+k

Sn-k

+k

an-k

an+k

＜0
∴f（n）關于n是一個單調遞減的函數，最大值為

a1+k

a1-k

+k

a1-k

a1+k

．

點評：本題主要考查了數列的通項公式，以及數列的單調性的判定和最值的求解，是一道綜合題，屬于中檔題．