Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD為正方形，AD=PD=2，E，F，G分別為PC，PD，CB的中點．
（1）求證：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小；
（3）求三棱錐C-PAB的體積．

Answer 1

分析：（1）連接AC，BD交于O點，連接GO，FO，EO，利用中位線定理進行證明可證四邊形EFOG是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）取CD中點M，連接OM，EM，則OM∥AD，EM∥PD，可知∠OEM為所求二面角的平面角，在Rt△OME中，求出∠OEM的大小．
（3）利用等體積法可得V_C-PAB=V_P=ABC，從而求解．

解答：解：（1）證法1，連接AC，BD交于O點，連接GO，FO，EO，如圖（1）所示：
∵E，F分別為PC，PD的中點，
∴EF∥CD且EF=

1

2

CD，同理GO∥CD且GO=

1

2

CD，
∴EF∥GO且EF=GO，
∴四邊形EFOG是平行四邊形，
∴EO?平面EFOG，又在△PAC中，
E，0分別為PC，AC的中點，
∴PA∥EO
∵EO?平面EFOG，PA?平面EFOG，∴PA∥平面EFOG，即PA∥平面EFG．（4分）

（2）解法1：取CD中點M，連接OM，EM，則OM∥AD，EM∥PD又
∵PD平面ABCD，AD?面ABCD，
∴PD⊥AD，又∵AD⊥CD
PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD，
∴OM⊥平面PCD，
∴EM為OE在平面PCD上射影，
∵EM⊥EF，
∴OE⊥EF，
∴∠OEM為所求二面角的平面角，在Rt△OME中，
OM=EM，∴∠OEM=45°．
∴二面角G-EF-D的大小為45°．（5分）
∴二面角G-EF-D的平面角為45°．
（3）V_C-PAB=V_P=ABC=

1

3

×S_ABD×PD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．（3分）

點評：此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的夾角問題，第一問的此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，中位線定理也是高考常用的．