Question

（2012•道里區二模）已知函數f(x)=ln(x+1)+

a

x+2

（1）當a=

25

4

時，求f（x）的單調遞減區間；
（2）若當x＞0時，f（x）＞1恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用導數小于0，即可求f（x）的單調遞減區間；
（2）由ln(x+1)+

a

x+2

＞1得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1），記g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，確定函數的最值，即可求a的取值范圍；
（3）先證明ln(x+1)＞

x

x+2

，取x=

1

k

，即可證得結論．

解答：（1）解：當a=

25

4

時，f′(x)=

4x2-9x-9

4(x+1)(x+2)2

=

(4x+3)(x-3)

4(x+1)(x+2)2

（x＞-1）
令f′（x）＜0，可得-

3

4

＜x＜3，∴f（x）的單調遞減區間為(-

3

4

，3)…（4分）
（2）解：由ln(x+1)+

a

x+2

＞1得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1）
記g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，則g′(x)=1-ln(x+1)-

x+2

x+1

=-ln(x+1)-

1

x+1

當x＞0時 g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）遞減
又g（0）=2•[1-ln1]=2，∴g（x）＜2（x＞0），∴a≥2…（8分）
（3）證明：由（Ⅱ）知 ln(x+1)+

2

x+2

＞1（x＞0）
∴ln(x+1)＞

x

x+2

取x=

1

k

得ln(

1

k

+1)＞

1 k

1 k +2

，即ln(

k+1

k

)＞

1

2k+1

∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查不等式的證明，屬于中檔題．