Question

（2012•道里區二模）已知△ABC，∠C=60°，AC=2，BC=1，點M是△ABC內部或邊界上一動點，N是邊BC的中點，則

AN

•

AM

的最大值為

7

2

．

Answer 1

分析：由題意，得△ABC是以B為直角的直角三角形，因此建立如圖直角坐標系，設M（x，y），可得向量

AM

和

AN

的坐標，從而得到

AN

•

AM

關于x、y的表達式，結合點M在△ABC內部或邊界上運動，可得當點M與原點重合時

AN

•

AM

的最大值為

7

2

．

解答：解：∵∠C=60°，AC=2，BC=1，
∴AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos60°=3，得AB=

3

可得△ABC是以B為直角的直角三角形
因此，以C為原點，CB所在直線為x軸建立如圖坐標系，
可得C（0，0），B（1，0），A（1，

3

）
∴BC中點N（

1

2

，0），得

AN

=（-

1

2

，-

3

）
設M（x，y），得

AM

=（x-1，y-

3

）
∴

AN

•

AM

=-

1

2

（x-1）+（-

3

）（y-

3

）=-

1

2

x-

3

y+

7

2

點M在△ABC內部或邊界上運動，當點M與原點重合時，-

1

2

x-

3

y+

7

2

=

7

2

，取得最大值
即

AN

•

AM

的最大值為

7

2

故答案為：

7

2

點評：本題給出直角三角形內的動點，求向量數量的最大值，著重考查了解三角形和平面向量的數量積公式等知識，屬于中檔題．