Question

已知f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函數，當x＞0時，f（x）=-x²+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0時的表達式；
（3）若關于x的方程f（x）=ax，（a∈R）有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，函數的頂點坐標為（2，2），從而求b，c的值；
（2）設x＜0，則-x＞0，再利用x＞0時，f（x）=-x²+bx+c，求得（-x）=-x²-4x-2，利用f（x）是奇函數，可得函數的解析式；
（3）只需-x²+4x-2=ax在（0，+∞）上有解，利用分類參數法求解．

解答：解：（1）由f（1）=f（3），f（2）=2知，函數的頂點坐標為（2，2），從而有

b 2 =2 -4c-b2 -4 =2

，∴

b=4 c=-2

；
（2）設x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=-x²-4x-2，∵f（x）是奇函數，∴-f（x）=-x²-4x-2，∴f（x）=x²+4x+2（x＜0）；
（3）由題意，只需-x²+4x-2=ax在（0，+∞）上有解，∴a=-x-

2

x

+4≤-2

2

+4，即a的取值范圍是(-∞，-2

2

+4]．

點評：本題考查函數的解析式的求解，考查方程有解問題，考查分離參數法求參數的范圍．