Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=

1

2

n²+

1

2

n．數列{b_n}滿足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的概念及簡單表示法

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用公式法求得a_n利用等比數列的定義求得b_n；
（2）利用錯位相減法求得數列的和即可．

解答： 解：（Ⅰ）當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n，
當n=1時，求得a₁=s₁=1．所以a_n=n．
因為

bn

bn-1

=

1

2

且b₁=1，所以b_n=(

1

2

)n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知c_n=n•(

1

2

)n-1．
所以T_n=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+n•(

1

2

)n-1，

1

2

T_n=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，
于是

1

2

T_n=1+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n，
化簡，得T_n=4-

2n+4

2n

．…（12分）

點評：本題主要考查公式法求數列的通項公式及等比數列的定義，考查數列求和的方法錯位相減法，考查學生的運算能力，屬中檔題．