Question

【題目】已知 為橢圓與雙曲線的公共焦點， 是它們的一個公共點，且 ，則該橢圓與雙曲線的離心率的積的最小值為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】設橢圓的長半軸長為a1 ， 雙曲線的半實軸長為a2 ， 則根據橢圓及雙曲線的定義：
|PF1|+|PF2|=2a1 ， |PF1|﹣|PF2|=2a2 ，
∴|PF1|=a1+a2 ， |PF2|=a1﹣a2 ，
設|F1F2|=2c，∠F1PF2= ，則：
在△PF1F2中由余弦定理得，
4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos ，
化簡得：（ ）a12+（ ）a22=4c2 ，
即 ，
又∵ 9 ，
∴ ，即 ≥ ，
即橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為 ．
所以答案是:B．