Question

【題目】在四棱柱 中，底面 是正方形，且 ， ．

（1）求證： ；
（2）若動點 在棱 上，試確定點 的位置，使得直線 與平面 所成角的正弦值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接 ， ， ，

因為 ， ，
所以 和 均為正三角形，
于是 ．
設 與 的交點為 ，連接 ，則 ，
又四邊形 是正方形，所以 ，
而 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）解：由 ，及 ，知 ，
于是 ，從而 ，
結合 ， ，得 底面 ，
所以 、 、 兩兩垂直．
如圖，以點 為坐標原點， 的方向為 軸的正方向，建立空間直角坐標系 ，
則 ， ， ， ， ， ，
， ，
由 ，易求得 ．
設 （ ），
則 ，即 ，
所以 ．
設平面 的一個法向量為 ，
由 得 令 ，得 ，
設直線 與平面 所成角為 ，則
，
解得 或 （舍去），
故答案為：當 為 的中點時，直線 與平面 所成角的正弦值為 ．
【解析】（1）通過線面垂直證明線線垂直.
（2）建立空間直角坐標系，設點E的坐標，由平面法向量計算線面角求得點E的坐標，從而確定點E的位置.