Question

【題目】直三棱柱中，，分別是 的中點，，為棱上的點．

（1）證明：；

（2）是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）略 （2）為的中點

【解析】試題分析：對于問題（1）可以先證明兩兩垂直，然后再建立空間直角坐標系用向量法進行證明；對于問題（2）可在（1）中建立的坐標系下，分別求出平面與平面的法向量，再根據二面角的余弦公式，即可確定是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

試題解析：（1）證明：因為，所以，

又因為，所以面，

又因為面，

所以，

以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則有

設且，即，則

，所以，

因為，所以，所以

（2）結論：存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為

理由如下：

由題可知面的法向量

設面的法向量為，則

因為，

所以，即，

令，則

因為平面與平面所成銳二面角的余弦值為，

所以，即，

解得或（舍），所以當為中點時滿足要求