Question

在等差數列中，，．令，數列的前項和為.
（1）求數列的通項公式和；
（2）是否存在正整數，（）,使得，，成等比數列？若存在，求出所有
的，的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2），.

試題分析：（1）由題意，，，利用等差數列求出，，則，所以，利用裂項相消法求出；（2）先表示出，，，對于存在性問題，先假設存在，假設存在正整數、 ，使得、、成等比數列，表示出， 即 ，化簡得 ，對按，討論，存在滿足條件的正整數、，此時，.
試題解析：（1）設數列的公差為，由得
解得，
∴                                 3分
∵
∴


                                          6分
（2）由（1）知，，，
假設存在正整數、 ，使得、、成等比數列，
則 ， 即             2分
經化簡，得
∴
∴ （*）                             3分
當時，（*）式可化為 ，所以              5分
當時，
又∵，∴（*）式可化為 ，所以此時無正整數解.
7分
綜上可知，存在滿足條件的正整數、，此時，.