Question

【題目】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，CD的中點．

（1）證明：平面AED⊥平面A1FD1；

（2）在AE上求一點M，使得A1M⊥平面DAE．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

(1) 證明建立空間直角坐標系D-xyz,不妨設正方體的棱長為2,

則A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).求出平面AED的法向量為n1

平面A1FD1的法向量n2，由n1·n2=0即可得證.

(2)因為點M在直線AE上,所以可設=λ·=λ·(0,2,1)=(0,2λ,λ),可得M(2,2λ,λ),于是=(0,2λ,λ-2),要使A1M⊥平面DAE,需有A1M⊥AE,即可求出λ

從而確定點M.

(1) 證明建立空間直角坐標系D-xyz,不妨設正方體的棱長為2,

則A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).

設平面AED的法向量為n1=(x1,y1,z1),則

∴2x1=0,2x1+2y1+z1=0.

令y1=1,得n1=(0,1,-2).

同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1).

因為n1·n2=0,所以平面AED⊥平面A1FD1.

(2)因為點M在直線AE上,所以可設=λ·=λ·(0,2,1)=(0,2λ,λ),可得M(2,2λ,λ),

于是=(0,2λ,λ-2),要使A1M⊥平面DAE,需有A1M⊥AE,

所以=(0,2λ,λ-2)·(0,2,1)=5λ-2=0,得λ=.故當AM=AE時,A1M⊥平面DAE.