Question

【題目】已知a,b為異面直線，且所成的角為70°，過(guò)空間一點(diǎn)作直線l，直線l與a,b均異面，且所成的角均為50°，則滿足條件的直線共有( ) 條

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

在空間取一過(guò)點(diǎn)P的平面α，過(guò)點(diǎn)P分別作a，b的平行線a′、b′，則a′、b′所成銳角等于70°，所成鈍角為110°，當(dāng)過(guò)P的直線PM的射影P在a′、b′所成銳角或鈍角的平分線上時(shí)，PM與兩條直線a，b所成的角相等，分別求出兩種情況下PM與a，b的夾角的范圍，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可得出答案．

在空間取一點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P分別作a∥a′，b∥b′，

設(shè)直線a′、b′確定平面α，

當(dāng)直線PM滿足它的射影PQ在a′、b′所成角的平分線上時(shí)，

PM與a′所成的角等于PM與b′所成的角．

因?yàn)橹本�a，b所成的角為70°，得a′、b′所成銳角等于70°．

所以當(dāng)PM的射影PQ在a′、b′所成銳角的平分線上時(shí)，

PM與a′、b′所成角的范圍是[35°，90°）．

這種情況下，過(guò)點(diǎn)P有兩條直線與a′、b′所成的角都是50°．

當(dāng)PM的射影PQ在a′、b′所成鈍角的平分線上時(shí)，PM與a′、b′所成角的范圍是[55°，90°）．

這種情況下，過(guò)點(diǎn)P有0條直線（即PMα時(shí)）與a′、b′所成的角都是50°．

綜上所述，過(guò)空間任意一點(diǎn)P可作與a，b所成的角都是50°的直線有2條．

故選：B．