Question

如圖，已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，直線l₁：x=2，直線l₂：y=3tx（其中-1＜t＜1，t為數）；．若直線l₂與函數f（x）的圖象以及直線l₁，l₂與函數f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示．
（1）求y=f（x）；  
（2）求陰影面積s關于t的函數y=s（t）的解析式；（3）若過點A（1，m），m≠4可作曲線y=s（t），t∈R的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圖象觀察得到二次函數f（x）過點（0，0），（1，0），就可設出二次函數的兩根式，再由圖象觀察得到二次函數圖象還過點（2，6），代入兩根式，就可求出函數f（x）的解析式．
（2）先求出二次函數與直線l₂的交點橫坐標，分別為0，1+t，由定積分的幾何意義可知，陰影部分的面積分成兩部分，左邊部分是函數y=3tx與函數y=3x²-3x的差在積分區間[0，1+t]上的定積分，右邊部分是函數y=3x²-3x與函數y=3tx的差在積分區間[1+t，2]上的定積分，分別求出，再相加即可．
（3）先判斷點A（1，m）在不在曲線s（t）上，因為曲線的切線斜率是曲線在切點處的導數，若過點A（1，m）可作曲線的三條切線，則曲線在切點處的導數滿足3(1+x0)2-6=

(1+x0)3-6x0+2-m

x0-1

有三個實根，再利用導數判斷m為何值時關于x₀方程2x₀³-6x₀+m=0有三個實根即可．

解答：解：（1）由圖可知二次函數的圖象過點（0，0），（1，0）
則f（x）=ax（x-1），
又因為圖象過點（2，6）
∴6=2a∴a=3
∴函數f（x）的解析式為f（x）=3x（x-1）=3x²-3x
（2）由

y=3x2-3x y=3tx

得x²-（1+t）x=0，∴x₁=0，x₂=1+t，
∵-1＜t＜1，∴直線l₂與f（x）的圖象的交點橫坐標分別為0，1+t，
由定積分的幾何意義知：s(t)=

∫

1+t 0

 [3tx-(3x2-3x)]dx+

∫

2 1+t

 [(3x2-3x)-3tx]dx
=(

3t+3

2

x2 -x3)

|

1+t 0

+(

-3t-3

2

x2 +x3)

|

2 1+t

=（1+t）³+2-6t，（-1＜t＜1）；
（3）∵曲線方程為s（t）=（1+t）³+2-6t，t∈R，∴s'（t）=3（1+t）²-6，
∴點A（1，m），m≠4不在曲線上．
設切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標滿足y₀=（1+x₀）³+2-6x₀，
∵s'（x₀）=3（1+x₀）²-6，故切線的斜率為3(1+x0)2-6=

y0-m

x0-1

=

(1+x0)3-6x0+2-m

x0-1

，
整理得2x₀³-6x₀+m=0．
∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，∴關于x₀方程2x₀³-6x₀+m=0有三個實根．
設g（x₀）=2x₀³-6x₀+m，則g'（x₀）=6x₀²-6，由g'（x₀）=0得x₀=±1
∵當x₀∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，g'（x₀）＞0∴g（x₀）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞增，
∵當x₀∈（-1，1）時，g'（x₀）＜0，∴g（x₀）在（-1，1）上單調遞減．
∴函數g（x₀）=2x₀³-6x₀+m的極值點為x₀=±1，
∴關于x₀方程2x₀³-6x₀+m=0有三個實根的充要條件是

g(-1)＞0 g(1)＜0

，即

-2-6×(-1)+m＞0 2-6+m＜0

解得-4＜m＜4，
故所求的實數m的取值范圍是-4＜m＜4．

點評：本題（1）考查了待定系數法求函數解析式，（2）考察了定積分在幾何中的應用；（3）考查了導數的幾何意義，導數與函數的單調區間，極值的關系，屬于綜合題．