Question

如圖，已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，直線l₁：x=2，直線l₂：y=3tx（其中-1＜t＜1，t為常數）；若直線l₂與函數f（x）的圖象以及直線l₁，l₂與函數f（x）以及的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示．
（I）求y=f（x）；
（2）求陰影面積s關于t的函數y=s（t）的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知二次函數的解析式f（x）=ax²+bx+c過點（0，0），（1，0），（2，6）利用待定系數法求出a，b，c，從而求出f（x）；
（2）直線l₂：y=3tx與函數f（x）進行聯立方程，求出交點，再利用定積分的集合意義及運算法則進行計算，求出陰影的面積；

解答：解：（1）由圖可知二次函數的圖象過點（0，0），（1，0）
則f（x）=ax（x-1），
又因為圖象過點（2，6）
∴6=2a
∴a=3
∴函數f（x）的解析式為f（x）=3x（x-1）=3x²-3x
（2）由

y=3x2-3x y=3tx

得x²-（1+t）x=0，
∴x₁=0，x₂=1+t，
∵-1＜t＜1，
∴直線l₂與f（x）的圖象的交點橫坐標分別為0，1+t，
由定積分的幾何意義知：s(t)

=∫

1+t 0

[3tx-(3x2-3x)]dx

+∫

2 1+t

[(3x2-3x)-3tx]dx
=[

3(1+t)

2

x2-x3]

|

t+1 0

+[x3-

3(1+t)

2

x2]

|

2 t+1

=（1+t）³+2-6t，（-1＜t＜1）；

點評：此題主要考查定積分的應用，考查的知識點比較全面，有一定的難度，第二問計算量比較大，是一到中檔題；